将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B.另-
(1)PQ=PB,证明:过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,△AMP和△CNP都是等腰三角形(如图1).∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°,而∠BPM+∠PBM=90°∴∠QPN=∠PBM.又∵∠QNP=∠PMB=90°∴△QNP≌△PMB(ASA),∴PQ=PB.(2)由(1)知△QNP≌△PMB,得NQ=MP.∵AP=x,∴AM=MP=NQ=DN=22x,BM=PN=CN=1-22x,∴CQ=CD-DQ=1-2×22x=1-2x∴S△PBC=12BC?BM=12×1×(1-22x)=12-24x,S△PCQ=12CQ?PN=<span class="MathZyb" mathtag="math" style="whiteSpace
(1)结论:PQ=PB.证明:如图1,过点P作PE⊥BC于E,作PF⊥CD于F,∵正方形ABCD,∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,又∵PE⊥BC于E,PF⊥DC于F,∴PE=PF,∵PE⊥BC,PF⊥DC,∠BCD=90°,∴∠EPF=90°,∴∠2+∠EPQ=90°,又∵∠1+∠EPQ=∠BPQ=90°,∴∠1=∠2,∵在△BPE和△QPF中,∠1=∠2PE=PF∠PEB=∠PFQ,∴△BPE≌△QPF(ASA),∴PB=PQ;(2)解:∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°,∴四边形PECF是矩形,又∵PE=PF,∴四边形PECF是正方形,∵正方形ABCD,AB=1,∴AC=2,∵AP=x,∴PC=2-x,由(1)知△BPE≌△QPF,∴S△BPE=S△QPF,∴S四边形PBCQ=S正方形PECF,∴S四边形PBCQ=12PC2=12(2-x)2=12x2-2x+1,即y=12x2-<div style="width: 6px; background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa64034f78f0f736dcbbf8b50955b319ebc41338.jpg); background-attachment: initial; background-origin: initial; background-clip: initial; background-color: initial; overflow-x:
证明:(1)连BQ,因∠BCQ与∠BPQ互补,PBCQ四点共圆
∠PQB=∠PCB=45° 故PB=PQ.或连PD,先证△PCB≅△PCD
(SAS)得PB=PD ∠PBC=∠PDC 因为∠PBC与∠PQC互补(用四边形内角和等于360度),
∠PQD和∠PQC互补(平角等于180度)
得∠PQD=∠PBC=∠PDQ得PD=PQ=PB
(2)由余弦定理得:PB=√((1^2)+(x^2)-2×1×x×(√(2)/2))=√((x^2)-√(2)x+1)
BQ=√(2)PB=√(2)×√((x^2)-√(2)x+1)=√(2((x^2)-√(2)x+1))
CQ=√((BQ^2)-(BC^2))=√(((√(2)X-1)^2))=1-√(2)X(X≤√(2)/2)
∴S△PBQ=(PB^2)/2=((x^2)-√(2)x+1)/2
∴S△BCQ=CQ×BC/2=(1-√(2)X)/2
S四边形PBCQ=S△PBQ+S△BCQ
∴y=((x-√(2))^2)/2(0≤x≤√(2)/2)
当Q在DC延长线上时:延长BP交CD于G,
△PAB∼△PCG
AB/GC=AP/PC 1/GC=X/(√(2)-X)⇒GC=(√(2)-X)/X⇒(GC^2)=([(√(2)-X)/X]^2)
(BG^2)=(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)
∴S△GPC=(1/2)×(√(2)-X)×[(√(2)-X)/X]×(√(2)/2)=[((√(2)-X)^2)√(2)]/4x
S△GQB/S△GPC=(GC^2)/(BG^2)={(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)}/([(√(2)-X)/X]^2)
∴S△GQB=[√(2)((x^2)-√(2)x+1)]/2x
∴S四边形BPCQ=S△GQB-S△GPC=√(2)x/4
即y=√(2)x/4(√(2)/2≤x≤√(2))
(3)因∠BPQ=∠BCQ=90°得BPCQ四点共圆得∠PQB=∠PCB=45°
故PB=PQ
(不用四点共圆同样可用全等相似及等腰证PB=PD=PQ)
△PCQ为等腰三角形只有一种可能:CQ=CP
此时∠CPQ=∠CQO=∠DCA/2=45/2=22.5°
∠APB=180-90-22.5=67.5°
∠ABP=180-45-67.5=67.5°
∴∠ABP=∠APB
∴AP=AB=1
CQ=CP=AC-AB=√(2)-1
则x=1 CQ=√(2)-1