(1)如图1,正方形ABCD中,E为边CD上一点,连接AE,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系-
解:(1)∵∠BAF+∠BAE=90°,∠DAE+∠BAE=90°,∴∠BAF=∠DAE,∵AB=AD,∠ADE=∠ABF,∴△ABF≌△ADE(ASA),∴AE=AF.(2)CE=MF.∵四边形ABCD是正方形,∴∠AMF=∠ACB=45°,AM=AC,∵△ABF≌△ADE,∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED,即∠AFB=∠AEC,∴∠MAF=∠EAC,∴△AMF≌△ACE,∴CE=MF.(3)①如图所示,把△ABE切下,拼到△ADF的位置,∵AB=AD,∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,∵∠AEB=∠AFD=90°,∴∠ABE=∠ADF,∴△ABE≌△ADF,∵AE=AD=CE,∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°,∴四边形AECF是正方形. ②如图4所示,
(1)根据两角互余的关系先求出∠BAF=∠DAE,再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE,由全等三角形的性质即可解答;
(2)先根据正方形的性质及AM⊥AC求出AM=AC,∠AMF=∠ACB=45°,再由△ABF≌△ADE及三角形内角和定理可求出∠MAF=∠CAE,再由SAS定理求出△AMF≌△ACE,即CE=MF;
(3)①画出示意图,只要求出△ABE≌△ADF,再根据此条件求出四边形AECF是正方形即可;
②根据题意画出示意图即可,此时正方形的面积等于两块涂料面积的和.
解答:解:(1)∵∠BAF+∠BAE=90°,∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠BAF=∠DAE,
∵AB=AD,∠ADE=∠ABF,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴AE=AF.
(2)CE=MF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AMF=∠ACB=45°,AM=AC,
∵△ABF≌△ADE,
∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED,即∠AFB=∠AEC,
∴∠MAF=∠EAC,
∴△AMF≌△ACE,
∴CE=MF.
(3)把△ABE切下,拼到△ADF的位置,
∵AB=AD,∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE,
∴∠BAE=∠DAF,
∵∠AEB=∠AFD=90°,
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△ADF,
∵AE=AD=CE,∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°,
∴四边形AECF是正方形.
解:(1)∵∠BAF+∠BAE=90°,∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠BAF=∠DAE,
∵AB=AD,∠ADE=∠ABF,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴AE=AF.(5分)
(2)CE=MF.(7分)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AMF=∠ACB=45°,AM=AC,
∵△ABF≌△ADE,
∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED,即∠AFB=∠AEC,
∴∠MAF=∠EAC,
∴△AMF≌△ACE,
∴CE=MF.
(3)①如图所示,把△ABE切下,拼到△ADF的位置,
∵AB=AD,∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE,
∴∠BAE=∠DAF,
∵∠AEB=∠AFD=90°,
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△ADF,
∵AE=AD=CE,∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°,
∴四边形AECF是正方形.
②如图4所示,
(1)AE=AF
证明:因为ABCD是正方形
所以AD=AB
角D=角ABC=角BAD=90度
因为角ABC+角ABF=90度
所以角ABF=90度
所以角ABF=角D=90度
因为角BAD=角BAE+角DAE=90度
因为AE垂直AF
所以角EAF=角BAE+角BAF=90度
所以角BAF=角BAE
所以直角三角形ABF和直角三角形ADE全等(ASA)
所以AE=AF
(2)CE=MF
(3)图呢?
(1)如图1,正方形ABCD中,E为边CD上一点,连接AE,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,在(1)的条件下,连接AC,过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M,观察并猜想CE与MF的数量关系(不必说明理由);
(3)解决问题:
①王师傅有一块如图所示的板材余料,其中∠A=∠C=90°,AB=AD.王师傅想切一刀后把它拼成正方形.请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图;
②王师傅现有两块同样大小的该余料,能否在每块上各切一刀,然后拼成一个大的正方形呢?若能,请你画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.
考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:几何综合题.
分析:(1)根据两角互余的关系先求出∠BAF=∠DAE,再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE,由全等三角形的性质即可解答;
(2)先根据正方形的性质及AM⊥AC求出AM=AC,∠AMF=∠ACB=45°,再由△ABF≌△ADE及三角形内角和定理可求出∠MAF=∠CAE,再由SAS定理求出△AMF≌△ACE,即CE=MF;
(3)①画出示意图,只要求出△ABE≌△ADF,再根据此条件求出四边形AECF是正方形即可;
②根据题意画出示意图即可,此时正方形的面积等于两块涂料面积的和.
解:
(1)
∵∠BAF+∠BAE=90°,∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠BAF=∠DAE,
∵AB=AD,∠ADE=∠ABF,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴AE=AF.
(2)
CE=MF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AMF=∠ACB=45°,AM=AC,
∵△ABF≌△ADE,
∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED,即∠AFB=∠AEC,
∴∠MAF=∠EAC,
∴△AMF≌△ACE,
∴CE=MF.
(3)
①如图所示,把△ABE切下,拼到△ADF的位置,
∵AB=AD,∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE,
∴∠BAE=∠DAF,
∵∠AEB=∠AFD=90°,
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△ADF,
∵AE=AD=CE,∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°,
∴四边形AECF是正方形.
解答:(1)
∵AF⊥AE
∴∠FAB+∠EAB=90°
正方形ABCD中:
∵∠DAE+∠EAB=90° 且AB=AD
∴∠FAB=∠DAE
∴Rt△AFB≌Rt△DAE
∴AE=AF
(2)
CE=FM(证法同上)
(3)①