如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°.求证:(1)EF=BE+DF;(2)SABCDS△EA~
证明:(1)延长CB到G,使GB=DF,连接AG(如图)∵AB=AD,∠ABG=∠D=90°,GB=DF,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴∠3=∠2,AG=AF,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠1+∠2=45°,∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF,∵AE=AE,∠GAE=∠EAF,AG=AF,∴△AGE≌△AFE(SAS),∴GB+BE=EF,∴DF+BE=EF;(2)∵△AEF≌△AGE,∴S△AEF=S△AGE,∴S△AEF=12GE×AB=12EF×AB,又SABCD=AB2,∴SABCDS△AEF=AB212EF×AB=2ABEF.
(1)结论仍然成立.延长CB到G,使BG=FD,根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF,由此可以推出∠BAG=∠DAF,AG=AF,而∠EAF= ∠BAD,所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF,进一步得到∠EAF=∠GAE,现在可以证明△AEF≌△AEG,然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立;
(2)结论不成立,应为EF=BE-DF,如图在CB上截取BG=FD,由于∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,可以得到∠B=∠ADF,再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF,由此可以推出∠BAG=∠DAF,AG=AF,而∠EAF= ∠BAD,所以得到∠EAF=∠GAE,现在可以证明△AEF≌△AEG,再根据全等三角形的性质就可以证明EF=EG=EB-BG=EB-DF.解答:解:(1)延长CB到G,使BG=FD,
∵∠ABG=∠D=90°,AB=AD,
∴△ABG≌△ADF,
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,
∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAE,
∴△AEF≌△AEG,
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.
(2)结论不成立,应为EF=BE-DF,
在CB上截取BG=FD,(如图)
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°
,∴∠B=∠ADF,
∵AB=AD,
∴△ABG≌△ADF,
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,
∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠EAF=∠GAE,
∴△AEF≌△AEG,
∴EF=EG=EB-BG=EB-DF.
解:(1)如图1,将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△ABF′,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAF′=∠EAF=45°,
在△AEF和△AEF′中,
问题探究:(1)如图1,在边长为3的正方形ABCD内(含边)画出使∠BPC=90°的...答:解:(1)如图1,画出对角线AC与BD的交点即为点P. 注:以BC为直径作上半圆(不含点B、C),则该半圆上的任意一点即可.(2)如图2,以BC为一边作等边△QBC,作△QBC的外接圆⊙O分别与AB,DC交于点 M、N,弧MN即为点P的集合. (3)如图3,以BC为一边作等边△QBC,作△QBC的外接...
感知:如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,将点E绕点C顺时针旋转90°到...答:∴△ECG≌△FCG(SAS),∴EG=GF,∵GF=DG+DF=DG+BE,∴EG=BE+GD;应用:解:如图3,过C作CH⊥AD于H,旋转△BCE到△CHM,则∠A=∠B=∠CHA=90°,∵AB=BC,∴四边形ABCH是正方形,∵∠DCE=45°,AH=BC,∴∠DCH+∠ECB=90°-45°=45°,∵由已知证明知:△EBC≌△MHC,∴∠ECB=...
如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.(1)求证...答:试题分析:(1)根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAE=∠D=90°,再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF,然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等,再根据全等三角形的证明即可;(2)过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,然后与(1)相同.试题解析:(1)证明:在正方形ABCD中,AB...
如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1...答:解答:(1)证明:在正方形ABCD中 CB=CD,∠B=∠CDA=90°,∴∠CDF=∠B=90°.在△BCE和△DCF中,CB=CD∠B=∠CDFBE=DF,∴△BCE≌△DCF(SAS).∴CE=CF.(2)解:GE=BE+GD成立.理由如下:∵∠BCD=90°,∠GCE=45°,∴∠BCE+∠GCD=45°.∵△BCE≌△DCF(已证),∴∠BCE...
如图1,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF= 1 2 A...答:(1)由正方形ABCD得:AD=AB,∠DAF=∠BAE=90°,又∵AF= 1 2 AB ,且E为AD的中点,∴AF=AE,在△ABE和△ADF中, AD=AB ∠BAE=∠DAF AE=AF ,∴△ABE≌△ADF(SAS);(2)①由图形可得:△ABE经过旋转可变到△ADF的位置.②由(1)得:BE⊥DF,BE=DF.
如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F...答:解:(1)证明:如图1,过点F作FM⊥AB于点M,在正方形ABCD中,AC⊥BD于点E.∴AE= 1 2 AC,∠ABD=∠CBD=45°,∵AF平分∠BAC,∴EF=MF,又∵AF=AF,∴Rt△AMF≌Rt△AEF,∴AE=AM,∵∠MFB=∠ABF=45°,∴MF=MB,MB=EF,∴EF+ 1 2 AC=MB+AE=MB+AM=AB.(2)E1F1,1 2 ...
如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°...答:即∠GAF=∠EAF,又AG=AE,AF=AF,∴△GAF≌△EAF(SAS),∴GF=EF,故DE+BF=EF;故答案为:EAF,△EAF,GF;(2)如图,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABHG,由旋转可得,AH=AE,BH=DE,∠1=∠2,∵∠EAF=12∠DAB,∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3=12∠BAD,∴∠HAF=∠EAF,∵∠...
如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45度.则有结 ...答:(2)结论不成立,应为EF=BE-DF,如图在CB上截取BG=FD,由于∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,可以得到∠B=∠ADF,再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF,由此可以推出∠BAG=∠DAF,AG=AF,而∠EAF= ∠BAD,所以得到∠EAF=∠GAE,现在可以证明△AEF≌△AEG,再根据全等三角形的性质就可以...
如图1,在正方形ABCD中,点E从点A处沿AD方向向终点D运动,同时点F以相 ...答:解答:(1)证明:如图1,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD,∠BAE=∠CDF,且AE=DF,在△ABE和△DCF中,AB=CD∠BAE=∠CDFAE=DF,∴△ABE≌△DCF(SAS),∴BE=CF,∵EF∥BC,且EF≠BC,∴四边形EBCF为等腰梯形;(2)解:①∵BD为正方形的对角线,BC=2,∴BD=22,且∠BDA=45°,∴...
如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF...答:试题分析:(1)易证△DGA≌△DGF,知∠3=∠4,由折叠得∠1=∠2,所以∠EDG=∠3+∠2= (∠ADF+∠FDC)= 45°;(2)如图2由折叠易知∠5=∠6,再由三角形的外角知∠5=∠DEC,得证BF∥DE;由勾股定理可求AG的长;(3) .试题解析:(1)证明:如图: ∵四边形ABCD是正方形,∴...
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