操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线上滑动,直角的一边始终经过B-
2024-08-24编辑:本站
操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过~
证明:如图1,过点P作PE⊥BC于E,作PF⊥CD于F,
∵正方形ABCD,
∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,
又∵PE⊥BC于E,PF⊥DC于F,
∴PE=PF,
∵PE⊥BC,PF⊥DC,∠BCD=90°,
∴∠EPF=90°,
∴∠2+∠EPQ=90°,
又∵∠1+∠EPQ=∠BPQ=90°,
∴∠1=∠2,
∵在△BPE和△QPF中,
(1)PQ=PB,证明:过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,△AMP和△CNP都是等腰三角形(如图1).∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°,而∠BPM+∠PBM=90°∴∠QPN=∠PBM.又∵∠QNP=∠PMB=90°∴△QNP≌△PMB(ASA),∴PQ=PB.(2)由(1)知△QNP≌△PMB,得NQ=MP.∵AP=x,∴AM=MP=NQ=DN=22x,BM=PN=CN=1-22x,∴CQ=CD-DQ=1-2×22x=1-2x∴S△PBC=12BC?BM=12×1×(1-22x)=12-24x,S△PCQ=12CQ?PN=<span class="MathZyb" mathtag="math" style="whiteSpace
PB=PQ
证明:
过点P作AC的垂线,交CB的延长线于点E
∵∠BPQ=∠EPC=90°
∴∠BPE=∠QPC
∵四边形ABCD是正方形
∴∠PCE=45°
∴PC=PE,∠PCQ=∠E=45°
∵∠PBE+∠PBC=180°,∠PQC+∠PBC=180°
∴∠PBE=∠PQC
∴△PBE≌△PQC
∴PB=PQ
证明:如图1,过点P作PE⊥BC于E,作PF⊥CD于F,
∵正方形ABCD,
∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,
又∵PE⊥BC于E,PF⊥DC于F,
∴PE=PF,
∵PE⊥BC,PF⊥DC,∠BCD=90°,
∴∠EPF=90°,
∴∠2+∠EPQ=90°,
又∵∠1+∠EPQ=∠BPQ=90°,
∴∠1=∠2,
∵在△BPE和△QPF中,
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